Modelo Híbrido del SQUID

Graduate Course on Robust Hybrid Control Systems – ITBA

Homework 1

Se propone y simula un modelo híbrido para un sensor SQUID (Superconducting Quantum Interference Device) con realimentación de flujo magnético.

Este sensor es un dispositivo no lineal que utiliza un lazo de realimentación para incrementar su rango dinámico. Suele ser modelado como un filtro pasa bajos con ganancia y frecuencia de corte conocida. Señales del alto slew rate pueden producir corrimientos en el punto de trabajo y generar discontinuidades en la tensión de salida.

Como modelo híbrido se propone un sistema conmutado que incluye la señal de entrada al sensor, la dinámica del mismo y se asume una distribución de probabilidad del nuevo punto de trabajo al realizarse un salto.

El vector de estados se define como una variable continua Z \in [-10,10] que representa la salida del SQUID, un contador \tau \in [0,\tau_D], un indicador del punto de trabajo q\in \mathcal{Z}, la entrada del sistema \phi_1 \in \Re y su derivada \phi_2 \in \Re. En este trabajo se estudian señales triangulares con valor pico \phi_{pico} y período (2\cdot \tau_D).

Los saltos se realizan de manera periódica en un cuarto del período de la señal de entrada. En cada salto, el contador se reinicia en cero, la variable continua se mantienen igual, se modifica aleatoriamente el punto de trabajo y la señal de entrada se mantiene constante pero se invierte la polaridad de la pendiente. El conjunto y la función de salto quedan definidos como:

eq2Entre los instantes de saltos el sistema fluirá continuamente, la variable Z será modificada según la dinámica del sistema, el punto de trabajo y la señal de entrada. El contador se incrementará en cada instante de simulación mientras que q se mantendrá constante. La señal de entrada modificará su valor linealmente según su pendiente. El conjunto y la función de flujo resultan:

eq3Simulación

A continuación se muestra los resultados de la simulación del sistema propuesto. Para la ganancia en DC y el polo del sensor se tomo S =0.75 V y P=50 kHz. El período  y el valor pico de la señal se tomaron igual a 2 ms y a 5.

3dFigura 1: trayectoria de la variable Z con respecto al tiempo híbrido.

fig2Figura 2: variables Z, \tau y \phi_1 con respecto al tiempo continuo.

fig3Figura 3: ampliación del instante del primer salto en la figura 2 con respecto al tiempo. La dinámica del sensor es visible.

%Flow map
function [xdot]=f(x)
z = x(1);
tau = x(2);
q = x(3);
fi1 = x(4);
fi2 = x(5);

zdot = ( (fi1-q)*0.75 -z)*(2*3.14*50e3);
taudot = 1;
qdot = 0;
fi1dot = fi2;
fi2dot = 0;

xdot = [zdot; taudot; qdot; fi1dot; fi2dot]; 

 


% jump map
function [xplus]=g(x)
z = x(1);
tau = x(2);
q = x(3);
fi1 = x(4);
fi2 = x(5);

qplus=q;
while qplus==q,
 qplus=ceil(random('norm',0,4));
end
zplus=z;
tauplus=0;
fi1plus = fi1;
fi2plus = -fi2;

xplus=[zplus; tauplus; qplus; fi1plus; fi2plus]; 

 


%check if in D
function ind=D(x)
z = x(1);
tau = x(2);
q = x(3);
fi1 = x(4);
fi2 = x(5);
if (tau>=0.001),
 ind=1;
else
 ind=0;
end 

 


%check if in C
function inC=C(x)
z = x(1);
tau = x(2);
q = x(3);
fi1 = x(4);
fi2 = x(5);

if(tau>=0)
 inC=1;
else
 inC=0;
end 

 


%simulate the SQUID
clear all;
close all;

%define inicial condition
T = 0.001; % Período igual a 1 segundo.
x0=[-5*0.75;0;0;-5;10/T]; % Condiciones inicial

%simulation horizon
TSPAN=[0 4];
JSPAN=[0 5];

%rule for jumps
% rule = 1 priority for jumps
% rule = 2 priority for flow
% rule = 3 random priority
rule = 1;

options=odeset('RelTol', 1e-4, 'MaxStep',0.01);

[t j x] = HyEQsolver(@f,@g,@C,@D, x0, TSPAN, JSPAN, rule, options);

figure
subplot(4,1,1)
plotflows(t,j,x(:,1))
ylabel('Z')
subplot(4,1,2)
plotflows(t,j,x(:,2))
ylabel('Tau')
subplot(4,1,3)
plotflows(t,j,x(:,3))
ylabel('q')
subplot(4,1,4)
plotflows(t,j,x(:,4))
ylabel('Phi')

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